Miary rozproszenia - Zintegrowana Platforma Edukacyjna (2024)

Właściciel dwóch sklepów zodzieżą, położonych wróżnych miejscach miasta, próbuje ustalić, które bluzki sprzedają się najlepiej wkażdym zjego sklepów, przy czym bierze pod uwagę jedynie cenę bluzki. Chce wten sposób ustalić, jaki towar powinien zamówić. Zanotował, że podczas ostatniego dnia wpierwszym sklepie sprzedano kolejno bluzki wcenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $10\mathrm{zł},80\mathrm{zł},20\mathrm{zł},20\mathrm{zł},90\mathrm{zł},10\mathrm{zł},90\mathrm{zł},80\mathrm{zł}$. Wtym samym czasie wdrugim sklepie sprzedano kolejno bluzki wcenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $50\mathrm{zł},50\mathrm{zł},40\mathrm{zł},60\mathrm{zł},50\mathrm{zł},40\mathrm{zł},60\mathrm{zł},50\mathrm{zł},50\mathrm{zł},50\mathrm{zł}$.
Ceny te, po uporządkowaniu wkolejności niemalejącej, zapisał wnastępującej tabeli:

Zauważmy, że średnia cena zakupionej bluzki oraz mediana są takie same wobu sklepach.
Wpierwszym sklepie

$\stackrel{-}{x}=\frac{10+10+20+20+80+80+90+90}{8}=\frac{400}{8}=50$

oraz mediana jest równa

$\frac{20+80}{2}=50.$

Wdrugim sklepie

$\stackrel{-}{x}=\frac{40+40+50+50+50+50+50+50+60+60}{10}=\frac{500}{10}=50$

oraz mediana jest równa

$\frac{50+50}{2}=50.$

Na podstawie tych danych można wysnuć wnioski, że wobu sklepach sprzedaż wygląda podobnie.
Zilustrujmy jednak te dane na wykresach.

Rao5fapdeSMiY1

Na pierwszym wykresie dane znajdują się wsporej odległości od średniej $x=50$, na drugim skupiają się wokół niej. Wpierwszym zestawie danych są kwoty bardzo małe ibardzo duże wstosunku do średniej. Może to oznaczać, że do sklepu przychodzą zarówno zamożni klienci, jak iwydający na ubrania minimum pieniędzy. Wdrugim sklepie większość danych jest bliska średniej imedianie. Może to oznaczać, że klienci drugiego sklepu to ludzie średnio zamożni, którzy wybierają towar przeciętny, nie za drogi inie za tani.
Właściciel sklepów przeprowadził podobne badanie przez kilka kolejnych dni iwnioski powtarzały się. Zdecydował się więc do pierwszego sklepu zamówić bluzki bardzo tanie i droższe, zaś do drugiego takie, których cena jest bliska $50\mathrm{zł}$.

Pewna firma zajmuje się prowadzeniem szkoleń. Po każdym ze szkoleń uczestnicy oceniają trenera prowadzącego szkolenie. Ocena ta jest liczbą całkowitą od $1$ (najniższa ocena) do $10$. Jedno ze szkoleń, wktórym wzięło udział $20$ uczestników, prowadzone było przez dwóch trenerów. Na poniższym wykresie przedstawiono otrzymane przez nich oceny.

Ry8zoK3cmrSK31

Obliczmy średnią ocenę, jaką otrzymał każdy ztrenerów.
Trener $1$: $\stackrel{-}{x_1}=\frac{1\cdot 2+2\cdot 2+3\cdot 1+4\cdot 2+7\cdot 1+8\cdot 2+9\cdot 5+10\cdot 5}{20}=\frac{135}{20}=\mathrm{6,75}$.
Trener $2$: $\stackrel{-}{x_2}=\frac{6\cdot 8+7\cdot 9+8\cdot 3}{20}=\frac{135}{20}=\mathrm{6,75}$.
Średnie oceny są takie same. Wykres natomiast wskazuje na inne rozkłady poszczególnych ocen jednostkowych. Trener $1$ otrzymał oceny prawie zcałej skali. Są one rozproszone wstosunku do oceny średniej, awięc część uczestników szkolenia oceniła go bardzo wysoko, aczęść bardzo nisko. Trener $2$ otrzymał jedynie oceny $6,7$ i$8$, awięc skupione wokół średniej. Może nie jest idealny (nie otrzymał $10$), ale ludziom się na ogół podobał inie wzbudzał negatywnych odczuć.
Oczywiście, jeżeli zestaw danych jest większy to trudniej zaobserwować jego strukturę. Podobnie jak wprzypadku tendencji centralnej, tak iwtym przypadku posłużymy się pewnymi statystykami. Do oceny koncentracji badanych danych służą miary rozproszenia. Najprostszą miarą rozproszenia jest rozstęp, czyli różnica pomiędzy największą inajmniejszą wartością.

$R=x_{\max }-x_{\min }$

Dużą zaletą tej charakterystyki jest łatwość jej wyznaczania. Jednak nie informuje nas ona, jak wprzedziale $〈{x_{\min },x}_{\max }〉$ odługości $R$ są rozłożone poszczególne dane. Czy np. są skupione wokół jednego punktu, czy rozrzucone wtym przedziale. Rozstęp mówi tylko otym, jaką długość ma najkrótszy przedział zawierający wszystkie dane.

Obliczmy rozstęp dla każdej zwielkości występujących wpoprzednich dwóch przykładach.
Dla pierwszego sklepu $R=90-10=80$, adla drugiego $R=60-40=20$. Zauważymy więc, że różnica wcenie najdroższej inajtańszej bluzki wpierwszym sklepie wynosi 80 zł, zaś wdrugim $20\mathrm{zł}$, czyli jest cztery razy mniejsza. Zatem wdrugim sklepie ceny są bardziej skupione.
Wdrugim przykładzie dla pierwszego trenera $R=10-1=9$, adla drugiego $R=8-6=2$. Tutaj także rozstęp wyników drugiego trenera jest mniejszy niż pierwszego.
Najczęściej jednak potrzebujemy dokładniejszej analizy rozproszenia danych. Zauważmy, że dla tego samego rozstępu dane mogą układać się bardzo różnie. Na przykład rozstąp wzestawie danych: $1,3,3,3,3,3,3,3,5$ jest równy $4$ ijest taki sam, jak wzestawie: $1,1,2,2,3,4,4,5,5$. Jednak wpierwszym zestawie, poza danymi skrajnymi, występuje wielokrotnie ta sama wartość $3$, awdrugim zestawie występują wszystkie wartości całkowite od $1$ do $5$ iprawie każda tak samo często. Spróbujemy skonstruować taki wskaźnik, który pozwoli nam odróżnić te dwie sytuacje.
Zajmiemy się więc badaniem odległości każdej danej od średniej. Przypomnijmy, że odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej to wartość bezwzględna różnicy tych liczb. Zatem odchylenie liczby $x_i$ od średniej $\stackrel{-}{x}$, to

$\left|x_i-\stackrel{-}{x}\right|.$

Obliczmy odchylenia średnich cen bluzek zprzykładu pierwszego wkażdym zdwóch sklepów. Wyniki zapiszmy wtabeli.

Obliczmy teraz średnią arytmetyczną znalezionych odchyleń wkażdym ze sklepów.
Wpierwszym sklepie: $\frac{40+40+30+30+30+30+40+40}{8}=\frac{280}{8}=35$.
Wdrugim sklepie: $\frac{10+10+10+10}{8}=\frac{40}{8}=5$.
Obliczone przez nas wielkości to tak zwane odchylenia przeciętne.

Odchyleniem przeciętnym liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ nazywamy liczbę

$\frac{\left|x_1-\stackrel{-}{x}\right|+\left|x_2-\stackrel{-}{x}\right|+\dots +\left|x_n-\stackrel{-}{x}\right|}{n}$

Odchyleniem standardowym$\sigma$ liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ nazywamy liczbę

$\sigma =\sqrt{\frac{{(x_1-\stackrel{-}{x})}^2+{(x_2-\stackrel{-}{x})}^2+\dots +{(x_n-\stackrel{-}{x})}^2}{n}}$

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją ioznaczamy symbolem ${\sigma }^2$, czyli

${\sigma }^2=\frac{{(x_1-\stackrel{-}{x})}^2+{(x_2-\stackrel{-}{x})}^2+\dots +{(x_n-\stackrel{-}{x})}^2}{n}$

Wariancja liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ jest równa

${\sigma }^2=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}{n}-{\left(\stackrel{-}{x}\right)}^2$

Wtabeli przedstawiono kwoty rachunków za telefon, jakie zapłaciła Małgosia wkolejnych miesiącach.

Obliczymy wariancję iodchylenie standardowe tych wydatków zdokładnością do $1\mathrm{zł}$. Średnia wydatków na telefon Małgosi jest równa $\stackrel{-}{x}=\frac{63+41+35+67+60+52}{6}=\frac{318}{6}=53$$\left(\mathrm{zł}\right)$
Wkolejnych miesiącach odchylenie od średniej jest równe:

Wariancja jest więc równa:
${\sigma }^2=\frac{{10}^2+{12}^2+{18}^2+{14}^2{+7}^2+1^2}{6}=\frac{100+144+324+196+49+1}{6}=\frac{814}{6}=135,\left(6\right)\approx 136$
aodchylenie standardowe

$\sigma =\sqrt{136}\approx 12.$

Wyniki pewnego badania umieszczono wtabeli.

Obliczymy wariancję iodchylenie standardowe wtym badaniu.
Zaczniemy od policzenia średniej

$\stackrel{-}{x}=\frac{5\bullet 4+2\bullet 5+4\bullet 6+6\bullet 7+3\cdot 8}{5+2+4+6+3}=\frac{120}{20}=6.$

• sposób $I$

Obliczymy wariancję, korzystając ze wzoru podanego wtwierdzeniu. Wtym celu obliczymy średnią kwadratów otrzymanych wyników

$\frac{5\bullet 4^2+2\bullet 5^2+4\bullet 6^2+6\bullet 7^2+3\bullet 8^2}{5+2+4+6+3}=\frac{760}{20}=38.$

Stąd wariancja jest równa ${\sigma }^2=38-{\left(\stackrel{-}{x}\right)}^2=38-36=2$ iodchylenie standardowe $\sigma =\sqrt{2}$.

• sposób $\mathrm{II}$

Obliczymy wariancję, posługując się definicją. Odchylenia poszczególnych wyników od średniej zamieścimy wtabeli.

Podstawiając wyniki do wzoru na wariancję, otrzymujemy:

${\sigma }^2=\frac{5\cdot 2^2+2\cdot 1^2+4\cdot 0^2+6\cdot 1^2+3\cdot 2^2}{5+2+4+6+3}=\frac{40}{20}=2$

Wpewnej szkole przeprowadzono ankietę, wktórej zadano uczniom pytanie „Ile książek przeczytałeś/łaś wciągu ostatnich dwóch tygodni?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie.

RfYmYenR0RP8a1

Obliczymy wariancję iodchylenie standardowe otrzymanych wyników.
Dla otrzymanych wyników możemy przyjąć następujące wagi

Średnia ważona otrzymanych wyników jest równa

${\stackrel{-}{x}}_w=\mathrm{0,1}\bullet 1+\mathrm{0,4}\bullet 2+\mathrm{0,3}\bullet 3+\mathrm{0,2}\bullet 4=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,8}+\mathrm{0,9}+\mathrm{0,8}=\mathrm{2,6}.$

Licząc wariancję, posłużymy się wzorem ztwierdzenia

${\sigma }^2=\frac{{\mathrm{0,1}\bullet 1}^2+{\mathrm{0,4}\bullet 2}^2+{\mathrm{0,3}\bullet 3}^2+{\mathrm{0,2}\bullet 4}^2}{1}-{\left(\mathrm{2,6}\right)}^2=\mathrm{0,1}+\mathrm{1,6}+\mathrm{2,7}+\mathrm{3,2}-\mathrm{6,76}=\mathrm{0,84}.$

Wtedy odchylenie standardowe jest równe $\sigma \approx \mathrm{0,92}$.

Michał przeprowadził doświadczenie, wktórym mierzył m.in. czas ruchu pewnego ciała. Wykonał doświadczenie $10$ razy iotrzymał następujące wyniki wsekundach:

Wyznacz średni czas ruchu ciała oraz odchylenie standardowe wtym doświadczeniu. Ile wyników jest większych od średniego lub mniejszych od średniego czasu owięcej niż jedno odchylenie standardowe?

przedstawiono wyniki, jakie osiągnęło dwóch skoczków narciarskich podczas przygotowań do zawodów.

1. Który znich ma wyższą średnią długość skoków?

2. Który ze skoczków skacze bardziej stabilnie?

   Tabela. Dane

   	$1$ skok	$2$ skok	$3$ skok	$4$ skok	$5$ skok	$6$ skok	$7$ skok	$8$ skok
   $1$ zawodnik	$115$	$119$	$116$	$125$	$123$	$122$	$115$	$125$
   $2$ zawodnik	$120$	$115$	$116$	$121$	$123$	$124$	$115$	$118$

Tomek każdego dnia rano, jadąc do szkoły, porównywał czas przyjazdu tramwaju zinformacją umieszczoną na przystanku. Przez kolejne dni informację notował wzeszycie. Odchylenie dodatnie oznacza, że tramwaj przyjechał później, aodchylenie ujemne, że przyjechał wcześniej. Jakie było odchylenie przeciętne przyjazdu tramwaju?

Magda, przygotowując się do matury, postanowiła sprawdzić, ile godzin dziennie przeznacza na naukę. Wtym celu przez dwa tygodnie codziennie zapisywała wyniki wtabeli, anastępnie zaznaczyła je na wykresie. Oblicz średnią liczbę czasu poświęconego na naukę iodchylenie standardowe wpierwszym tygodniu, wdrugim oraz wcałym okresie dwóch tygodni.

RBu1m0SHPa2Yo1

Odpowiedz na pytania.

1. Jaka jest wariancja ijakie jest odchylenie standardowe zestawu liczb: $2,4,6,8,10$? Jak zmienią się wariancja iodchylenie standardowe, jeżeli każdą zpodanych liczb zwiększymy dwa razy?

2. Średnia arytmetyczna zestawu pięciu liczb: $a,b,c,d,e$ jest równa $\stackrel{-}{x}$, aodchylenie standardowe $\sigma$. Jak zmienią się te dwa wskaźniki, gdy każdą zliczb tego zestawu zwiększymy trzy razy?

Wpewnej szkole przeprowadzono badanie dotyczące liczby dzieci wrodzinach uczniów. Wyniki przedstawiono na diagramie.

RGJqqVJ5iPL4M1

Oblicz wariancję iodchylenie standardowe otrzymanych wyników.

Na lekcji fizyki przeprowadzono doświadczenie, podczas którego mierzono temperaturę pewnej próbki umieszczonej wokreślonych warunkach. Wyniki zapisano wtabeli.

Oblicz średnią temperaturę oraz wariancję iodchylenie standardowe wtym badaniu. Każdy zotrzymanych wyników podaj zdokładnością do $\mathrm{0,01}$.